【立方体】向かい合う頂点まで辺だけを進む最短経路を数える問題

単元：立方体
サブテーマ：向かい合う頂点を結ぶ最短経路
難易度：★★☆☆ 標準
対象学年：小学5〜6年生
この問題で身につく力：立方体の辺のつながりを整理し、場合分けして数える力

 

問題

1辺が6cmの立方体ABCD-EFGHがあります。

点Aから点Gまで、立方体の辺だけを通って進みます。

通る辺の本数が最も少なくなる進み方は、何通りありますか。

また、そのとき進む長さは何cmですか。

考えてみよう

AとGは向かい合う頂点です。

まず、Aから最初にどの頂点へ進めるかを考えてみましょう。

そのあとも、Gから遠ざからない進み方だけを整理すると、数えやすくなります。

　

　

　

解説

STEP 1　Aから最初に進める方向を考える

点Aにつながっている辺は3本あります。

そのため、最初の1本は、

• A→B
• A→D
• A→E

の3通りです。

STEP 2　それぞれの場合を調べる

まず、A→Bと進んだ場合です。

ここから3本の辺でGへ向かう最短経路にするには、

A→B→C→G

または、

A→B→F→G

の2通りがあります。

同じように、A→Dと進んだ場合は、

A→D→C→G

A→D→H→G

の2通りです。

A→Eと進んだ場合も、

A→E→F→G

A→E→H→G

の2通りです。

したがって、

3 × 2 ＝ 6

となり、最短の進み方は6通りあります。

STEP 3　進む長さを求める

どの最短経路でも、通る辺は3本です。

1辺は6cmなので、

6 × 3 ＝ 18（cm）

となります。

答え

最短の進み方：6通り

進む長さ：18cm

この問題のポイント

• 向かい合う頂点へ最短で進むには、3本の辺を通ります。
• 最初の進み方から順番に場合分けすると、数え漏れを防げます。
• 立体の問題でも、辺のつながりを整理すると平面的に考えられます。

よくある間違い

• 見えている辺だけで考える
  奥側の辺も立方体を作る大切な辺です。破線の辺も含めて考えます。
• 同じ経路を重ねて数える
  頂点を通る順番を書き出すと、重複を確認しやすくなります。
• 直線でAとGを結んでしまう
  今回は「立方体の辺だけを通る」という条件があります。

まとめ

立方体の向かい合う頂点まで辺だけを通って進むときは、まず最短で何本の辺を通るかを考えます。そのうえで最初の進み方ごとに整理すると、経路を漏れなく数えられます。立体の辺のつながりを把握する練習にもなる問題です。