【くり抜き】上下からくり抜いた2つの穴の重なりを考える問題

単元：くり抜き
サブテーマ：上下からくり抜いた穴の重なり
難易度：★★★☆ 応用
対象学年：小学6年生
この問題で身につく力：2つのくり抜きの重なりを立体的に捉え、体積を正しく求める力

 

問題

横12cm、奥行き10cm、高さ8cmの直方体があります。

この直方体の上面の中央から、横6cm、奥行き4cmの長方形の穴を、深さ5cmまでまっすぐくり抜きます。

さらに、下面の中央から、横4cm、奥行き6cmの長方形の穴を、深さ5cmまでまっすぐくり抜きます。

2つの穴の辺は、直方体の辺とそれぞれ平行です。

くり抜いたあとの立体の体積を求めなさい。

考えてみよう

上からの穴と下からの穴は、直方体の中で一部が重なります。

まず、高さ方向に何cm重なるかを考えてみましょう。

次に、上から見たときに2つの穴が重なる部分の大きさを考えます。

 

 

解説

STEP 1　もとの直方体の体積を求める

まず、くり抜く前の直方体の体積を求めます。

12 × 10 × 8 ＝ 960（cm³）

もとの直方体の体積は960cm³です。

STEP 2　それぞれの穴の体積を求める

上面からくり抜いた穴は、

横6cm、奥行き4cm、深さ5cmです。

6 × 4 × 5 ＝ 120（cm³）

上からくり抜いた部分は120cm³です。

下面からくり抜いた穴は、

横4cm、奥行き6cm、深さ5cmです。

4 × 6 × 5 ＝ 120（cm³）

下からくり抜いた部分も120cm³です。

ただし、この2つをそのまま足してはいけません。

直方体の中で、2つの穴が重なっている部分があるからです。

STEP 3　高さ方向の重なりを求める

上からの穴は深さ5cmです。

下からの穴も深さ5cmです。

2つを合わせると、

5 ＋ 5 ＝ 10（cm）

になります。

直方体全体の高さは8cmなので、2つの穴は、

10 − 8 ＝ 2（cm）

だけ高さ方向に重なっています。

STEP 4　上から見た重なりを考える

上からの穴は、横6cm、奥行き4cmです。

下からの穴は、横4cm、奥行き6cmです。

どちらも直方体の中央にあるため、重なる部分は、

横4cm、奥行き4cm

の長方形になります。

高さ方向には2cm重なっているので、重なる部分は、

横4cm、奥行き4cm、高さ2cm

の直方体です。

重なる部分の体積を求めます。

4 × 4 × 2 ＝ 32（cm³）

重なる部分は32cm³です。

STEP 5　実際にくり抜かれた体積を求める

2つの穴の体積を足すと、

120 ＋ 120 ＝ 240（cm³）

です。

しかし、重なる32cm³を2回数えているため、1回分を引きます。

240 − 32 ＝ 208（cm³）

実際にくり抜かれた体積は208cm³です。

最後に、もとの直方体から引きます。

960 − 208 ＝ 752（cm³）

したがって、くり抜いたあとの立体の体積は752cm³です。

答え

752cm³

この問題のポイント

• 上下からくり抜くときは、高さ方向に重なるかを確認する。
• 2つの穴を上から見て、重なる部分の縦と横の長さを考える。
• 2つの体積を足したときに重なりを2回数えた場合は、1回分を引く。

よくある間違い

上と下の穴の体積をそのまま足して、240cm³を引いてしまうことがあります。これでは重なった部分を2回取り除いたことになります。

また、高さ方向の重なりを5 ＋ 5 ＝ 10cmとしないように注意しましょう。直方体の高さ8cmを超えた2cmだけが重なりです。

まとめ

上下から穴をくり抜く問題では、2つの穴がどこで重なるかを立体的に考えることが大切です。高さ方向の重なりと、上から見た重なりの形を別々に整理すると、重なった部分の体積を正しく求められます。