【展開図】三角すいに向かい合う面はある？
単元：展開図
対象学年：小学5年生
難易度：★★☆☆ 標準
立体：三角すい
問題形式：対応関係
この問題で身につく力：展開図から面どうしのつながりを見分ける力
問題
同じ大きさの正三角形4枚でできた、正三角すい（正四面体）の展開図があります。中央の面をA、そのまわりの面をB・C・Dとします。
この展開図を折り上げて正三角すいを作ります。面Aと向かい合う面は、B・C・Dのうちどれですか。向かい合う面がない場合は「ない」と答え、その理由も説明しましょう。
この問題では、立体を組み立てたときに辺で接しておらず、離れている2つの面を「向かい合う面」と考えます。
考えてみよう
ヒント1：立方体には向かい合う面がありますが、三角すいでも同じでしょうか。
ヒント2：面Aの3本の辺に、それぞれどの面がつながっているか確かめましょう。
解説
STEP 1 面Aの3本の辺を見る
面Aは三角形なので、辺が3本あります。展開図を見ると、その3本の辺には、面B・C・Dがそれぞれ1枚ずつつながっています。
つまり、面Aと面B、面Aと面C、面Aと面Dは、どの組も共通の辺を持っています。
STEP 2 折り上げた後も辺のつながりを確認する
展開図を折り上げても、切り離さないかぎり、つながっていた辺はそのままです。面B・C・Dは面Aの周囲から立ち上がり、先端の1つの頂点で集まります。
したがって、面Aから離れた位置にある面はありません。
STEP 3 ほかの面どうしも調べる
次に、面A以外の組み合わせも確かめます。
外側の面B・C・Dの先端にあたる3つの頂点は、折り上げると1つの頂点に重なります。そのため、面Bと面C、面Cと面D、面Dと面Bも、それぞれ1本の辺を共有します。
つまり、面Aだけでなく、どの面にも向かい合う面はないことが分かります。
答え
ない。面Aは面B・C・Dのすべてと1本ずつ辺を共有しているため。
この問題のポイント
- 立方体と三角すいでは、面のつながり方が異なります。
- 展開図では、まず各面がどの辺で接しているかを調べます。
- 正三角すいでは、どの2面も1本の辺を共有し、向かい合う面はありません。
よくある間違い
「中央の面Aと、外側の面のどれかが向かい合う」と考えるのは間違いです。展開図で離れて見えることと、組み立てた立体で向かい合うことは同じではありません。
また、三角すいには両端の頂点を共有しない辺の組はありますが、向かい合う面の組はありません。辺と面を区別しましょう。
まとめ
三角すいの展開図では、面の位置だけでなく、どの辺でつながっているかを確認することが大切です。正三角すいは4つの三角形の面からできており、どの2面も1本の辺を共有します。そのため、立方体とは異なり、向かい合う面はありません。展開図の問題では、立体ごとの面のつながり方に注目しましょう。
