【円柱の切断】中心からずれた縦の切断面は何形？

問題

単元：円柱の切断

難易度：★★★☆ 応用

対象学年：小学6年生

立体：円柱

問題形式：断面形状

この問題で身につく力：円柱を真上から見た図と、切断面の形を結びつける力

底面の半径が5cm、高さが6cmの円柱があります。この円柱を、底面に垂直な1枚の平面で、上から下までまっすぐ切ります。切る平面は底面の中心を通らず、中心からの距離が3cmです。

切断面は何という図形になりますか。また、その周りの長さは何cmですか。

考えてみよう

まず、円柱を真上から見てみましょう。底面は円、切る平面は円の中を横切る直線として見えます。

切る平面は底面に垂直です。切断面の縦の辺は円柱の高さと同じになりそうです。横の辺はどのように求めればよいでしょうか。

円の中心から切る直線までの距離は3cmです。半径5cmと合わせると、切断面の横の長さを求められます。

解説

STEP 1　切断面の形を考える

切る平面は底面に垂直です。円柱の側面と交わる左右の線は、どちらも上下にまっすぐ伸びています。

上の辺と下の辺は、平行な2つの底面にできる同じ長さの線分です。したがって、切断面は長方形になります。円の中心を通らなくても、この形は変わりません。

STEP 2　真上から見て横の長さを求める

切断面の横の長さは、底面の円を切る直線が円の中につくる線分の長さです。この線分を「弦（げん）」といいます。

円の中心から弦に垂直な線を引くと、弦はちょうど半分に分かれます。半径5cm、中心から弦まで3cmなので、直角三角形の残りの辺は4cmです。

ここでは、3cm・4cm・5cmの辺をもつ直角三角形の関係を使います。3 × 3 ＋ 4 × 4 ＝ 5 × 5 となる組み合わせです。※この関係をまだ習っていない場合は、直角三角形の3辺の長さとして覚えておきましょう。

弦の長さは4cmの2倍です。

4 × 2 ＝ 8（cm）

STEP 3　長方形の周りの長さを求める

切断面の縦の長さは、円柱の高さと同じ6cmです。横は8cmなので、周りの長さを求めます。

（8 ＋ 6）× 2 ＝ 28（cm）

答え

切断面の形：長方形

切断面の周りの長さ：28cm

この問題のポイント

• 円柱を底面に垂直な平面で、円の内部を横切るように切ると、切断面は長方形になる。
• 切断面の横の長さは、底面の円にできる弦の長さに等しい。
• 中心から弦に下ろした垂線は、弦を半分に分ける。

よくある間違い

半径5cmを2倍して、切断面の横を10cmとしてしまうことがあります。しかし、直径10cmになるのは切る平面が円の中心を通る場合です。

今回は中心から3cmずれているため、横の長さは8cmです。また、円柱を斜めに切る場合とは違い、今回は底面に垂直に切ることにも注意しましょう。

まとめ

円柱の切断面の形は、どの向きに切るかで変わります。底面に垂直に切る場合は長方形になり、その横の長さは底面の円の弦から求められます。

今回のように中心からずれた位置で切ると、横の長さは直径より短くなります。切断面を考えるときは、まず真上から見た図に置き換え、円の中心から切断線までの距離を確かめると、立体の中の長さを整理しやすくなります。