2021年開成中の算数・面積比｜正六角形の解き方と対策

2021年度の開成中学校の算数で面積比を復習するなら、まず大問1（3）の正六角形の問題を確認しましょう。面積6㎠の正六角形で、互い違いの3辺の中点を結んだ三角形の面積を求める問題です。答えは9/4㎠（2.25㎠）。正六角形を24個の合同な小正三角形に分け、求める三角形が9個分だと分かれば、計算は難しくありません。

大切なのは答えを覚えることではなく、どこに補助線を入れれば、同じ面積の部分が見えるかという視点です。この記事では2021年度の実際の出題条件と解答を確認し、保護者が家庭で教えやすい解き方、基本から応用への類題の選び方、間違いの原因別の復習方法まで整理します。

2021年の開成中算数で問われた面積比は正六角形の問題

大問1（3）の条件と答え

2021年2月1日に実施された開成中の算数では、大問1に4つの小問があり、（3）が正六角形の求積問題でした。条件を要約すると、面積6㎠の正六角形ABCDEFについて、辺AB、CD、EFの中点をそれぞれP、Q、Rとし、三角形PQRの面積を求めるものです。問題の配置は2021年度の算数問題で確認できます。

以下は位置関係を説明するために描き直した図です。過去問の印刷物を画像として転載したものではありません。

正六角形を見たときに、いきなり三角形PQRの底辺や高さを計算しようとすると、必要な長さが分からず行き詰まりやすくなります。しかし、問われているのは「全体6㎠のうち、三角形が何割を占めるか」。長さではなく面積比を先に決める方針が有効です。

2021年度の出題全体との関係

2021年度の算数は、大問1が小問集合、大問2が立体図形、大問3が推理・場合の数を含む問題という構成でした。正六角形の小問は、大問2・3の複雑な設問とは異なり、基本的な図形の分割を素早く見抜く力を確認する位置づけと考えられます。2021年度の問題分析でも、正六角形を分割する標準的な問題と説明されています。

学校の2021年度入試結果によると、算数は85点満点で、全受験者平均45.8点、合格者平均55.8点でした。これは算数全体の平均点であって、この小問単独の正答率や配点を示すものではありません。面積比だけが合否を決めたと断定せず、得点したい基本問題の一つとして練習することが大切です。

正六角形の面積比を24等分で解く3ステップ

ステップ1：中心から6個の正三角形に分ける

正六角形の中心と6つの頂点を結ぶと、合同な正三角形が6個できます。正六角形の辺の長さと、中心から各頂点までの長さは等しいためです。この時点で、どの正三角形も全体の6分の1の面積になります。

次に、それぞれの正三角形の3辺の中点を結ぶように線を入れると、一つが面積の等しい小さな正三角形4個に分かれます。したがって、正六角形全体は6×4＝24個の小三角形として数えられます。

ステップ2：三角形PQRは小三角形9個分

P、Q、Rを結ぶと、三角形PQRの3辺は小正三角形の格子線と重なります。小正三角形の1辺を1とすると、三角形PQRの1辺は3です。正三角形の1辺が3倍なら、面積は3×3＝9倍となります。図の格子を見ても、小三角形9個分の面積だと確認できます。

つまり面積比は、三角形PQR：正六角形全体＝9：24＝3：8です。「線を引いたら何個分なのか」と数えてみると、長さの情報がなくても答えにたどり着けます。

ステップ3：全体の面積6㎠に割合をかける

求める面積は、6×9÷24＝9/4㎠、すなわち2.25㎠です。出版社の2021年度開成中算数の解説でも、正六角形を24個の等しい正三角形に分け、三角形PQRが9個分とする考え方が採用されています。

答え合わせの際は「2.25と書けたか」だけでなく、「なぜ全体を24と数え、PQRを9と数えたか」を子ども自身が説明できるか確認しましょう。比の意味が分かれば、正六角形全体の面積だけが変わっても同じ方法を使えます。

開成中の面積比対策で固めたい4つの基本

同じ底辺・同じ高さを見つける

面積比の最初の土台は三角形の面積です。底辺が同じで高さも同じなら面積は等しく、底辺が同じなら面積比は高さの比になります。正六角形を三角形に分ける前段階では、同じ底辺と平行な直線の間にある三角形を比べる問題が練習に適しています。

中点と面積の2分の1を結びつける

三角形ABCの辺BCの中点をMとすると、三角形ABMとAMCは底辺BMとMCが等しく、高さが共通なので面積も等しくなります。これが「中点があると面積を半分にできる」基本です。ただし、中点を結べばどんな図でも面積が半分になるわけではありません。どの部分の底辺と高さを比べているかを必ず確認します。

相似の面積比は辺の比を2回かける

形が同じ相似な図形では、対応する辺の長さが2：3なら面積比は4：9です。2021年度の正六角形の解法でも、小さい正三角形とPQRの辺の比1：3から、面積比1：9を導けます。「長さが3倍だから面積も3倍」とする誤りは、正三角形の1辺を2倍にした簡単な例で、底辺と高さが両方2倍になることを確認すると防ぎやすくなります。

図の分割と補助線の優先順位

複雑な図では、知っている公式を無理に当てはめるより、中心・中点・平行線・合同な三角形を探してから補助線を引く方が整理しやすくなります。初めから細かく線を増やさず、まず6分割、それで足りなければ各部分を4分割、と段階を踏んで考えるのがポイントです。

2021年の問題から発展するオリジナル類題

基礎：中点から同じ面積を求める

練習1（オリジナル）：面積が18㎠の三角形ABCで、辺BCの中点をMとします。三角形ABMの面積は何㎠でしょうか。

答え：9㎠。 底辺BMはBCの半分で、高さは三角形ABCと共通です。したがって18÷2＝9㎠。図に線を増やさずに説明できるかを確認しましょう。

標準：正六角形の中心と辺の中点

練習2（オリジナル）：面積24㎠の正六角形ABCDEFの中心をOとし、辺EFの中点をMとします。三角形EOMの面積は何㎠でしょうか。

答え：2㎠。 中心と隣り合う頂点E、Fを結んだ三角形EOFは全体の6分の1なので4㎠です。MはEFの中点であり、三角形EOMとFOMは面積が等しくなるため、4÷2＝2㎠となります。

発展：面積比3：8を別の面積で再現する

練習3（オリジナル）：面積20㎠の正六角形ABCDEFについて、2021年度の開成中の問題と同じように辺AB、CD、EFの中点をP、Q、Rとします。三角形PQRの面積は何㎠でしょうか。

答え：7.5㎠。 全体の面積が変わっても三角形PQRは3/8を占めるため、20×3÷8＝7.5㎠です。正六角形の面積を12㎠や16㎠に変えても答えが出せれば、計算結果ではなく面積比の構造を理解したと判断できます。

段階	練習する見方	できたか確かめる質問
基礎	同じ高さと中点	なぜ面積を2等分できる？
標準	正六角形の6分割	中心を結ぶと何個の三角形？
発展	24等分と面積比	全体の面積が変わっても割合は同じ？

類題は難問を大量に集めるより、同じ考え方を少し違う図で使えるかを重視しましょう。なお、ここに挙げた3題は家庭練習用に作成した問題であり、開成中が実際に出題した問題ではありません。

家庭での復習と過去問の使い方

できない原因を「図・比・計算」に分ける

2021年度の問題が解けなかった場合、すぐに難度の高い図形問題を追加せず、つまずきを分けて考えます。「正六角形を6個の正三角形に分割できない」なら図の基本、「24個と9個の関係を説明できない」なら相似・面積比、「9/24を6倍する式で間違える」なら分数計算の復習が優先です。誤答を一括して「図形が苦手」と決めつけないことが大切です。

小学5年生・6年生で取り組み方を変える

小5では中点・高さ・合同な三角形を使う標準問題から始め、正六角形を6等分、24等分する見方をゆっくり身につけましょう。小6では、一度解いた正六角形問題を時間を空けて白紙から解き直し、初めて見る図形でも等積の部分を見つけられるか確かめます。受験直前期に面積比ばかりを集中的に解くのではなく、開成で出題される立体図形や規則性、推理問題との学習時間のバランスも必要です。

過去問は「正解」より補助線の理由を残す

過去問の直しノートには、長い模範解答を書き写す必要はありません。「正六角形→中心で6等分→中点で24等分→PQRは9個分」と、解法を選んだ理由を短く残します。数日後、図を見ずにこの流れを説明できるか、別の用紙に補助線を引き直せるかを確認すると、同じ問題を覚えただけなのか、解法を使えるようになったのかが分かります。

まとめ｜2021年開成中の面積比は分け方を理解して対策する

2021年の開成中算数・大問1（3）は、面積6㎠の正六角形で3辺の中点を結ぶ三角形の面積を求める問題でした。正六角形全体が小三角形24個、求める三角形が9個と捉えると、6×9/24＝9/4㎠と求められます。

家庭での対策は、答えの9/4㎠を覚えることではありません。同じ高さ、中点、正六角形の6分割、相似の面積比を順に確認し、初めて見る図でも「何個分の面積か」を説明できる状態を目指しましょう。過去問の図を別の大きさや面積に変えても解けることが、理解を確かめる具体的な目安になります。