2019年開成中の算数「規則性」対策｜大問4の考え方
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2019年度の開成中学校の算数で「規則性」を対策するなら、大問4の条件整理・推理と、関連する大問3の道順を数える場合の数に注目しましょう。大問4は、単純な数列の公式を当てはめる問題ではありません。文章で示された操作のルールを正確に読み取り、試して、結果を整理する力が問われます。
「規則性の問題集を解いているのに、開成の過去問になると手が止まる」という場合は、計算練習を増やす前に、ルールを表にする練習が有効です。本記事では2019年度の出題内容を整理し、家庭で取り組めるオリジナル例題と復習手順を紹介します。
2019年開成中の算数で「規則性」に当たる問題は？
大問4は数列よりも条件整理・推理が中心
2019年度の開成中算数は大問4題で、大問1が速さと比、大問2が立体の切断・投影図、大問3が道順の数え方、大問4が条件整理と推理を扱いました。大問4では、問題文に示された手順を理解し、実際に操作して結果を調べることが求められました。
大問4はカードの受け渡しを題材にした問題で、手順に従って状態を調べ、条件から可能性を絞り込む力が求められます。「規則性」と分類されることもありますが、等差数列や周期算の公式を当てはめる問題ではありません。操作を正確に記録し、成立する条件と成立しない条件を区別する問題として学習すると、対策の方向が明確になります。
大問3は道順を場合分けして数える問題
大問3は、道順を数える場合の数です。特に一度だけ通常とは逆の方向へ進む条件が付く設問では、「どこで逆方向へ進んだか」で場合を分けて考える必要があります。単純に格子点の数を足すだけでなく、重複なく、漏れなく数えることが重要です。
2019年度の実際の問題文と図は、2019年度開成中算数の問題PDFで確認できます。この記事の練習問題は入試問題の転載ではなく、考え方を身につけるためのオリジナル問題です。
大問4型の規則性問題を解くための4つの手順
手順1：操作のルールを短い言葉にする
長い問題文を読んだら、「何を選ぶか」「どう変えるか」「いつ終わるか」の3点に分けてメモします。操作の順番が指定されている場合は、順序を入れ替えないことも大切です。
手順2：最初の3〜5回を表にする
頭の中だけで進めず、操作前と操作後を表に並べます。途中の値を残せば、状態の変化や、成り立たない組み合わせを見つけやすくなります。
手順3：変わらない性質を探す
数そのものが複雑に変わっても、偶数・奇数、合計、差、並び方などに注目すると、条件を絞れる場合があります。すべての結果を計算する前に、こうした性質に注目すると整理が進みます。ただし、数回試しただけで「必ず成り立つ」と決めつけず、なぜそうなるかを説明できるか確認します。
手順4：見つけた規則を別の回数でも検証する
規則を予想したら、表に書いていない次の1回でも成立するか試します。大きな回数へ進むのは、予想とルールの整合性を確かめてからです。
家庭で練習できる規則性のオリジナル例題
例題1：操作を繰り返したときの数
数1から始め、1回ごとにその時点の数を見て、次のいずれか一方の操作を行います。「奇数なら3を足す。偶数なら2で割る」。操作を6回行った後の数はいくつでしょうか。
| 操作回数 | 操作前 | 行う操作 | 操作後 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3を足す | 4 |
| 2 | 4 | 2で割る | 2 |
| 3 | 2 | 2で割る | 1 |
| 4 | 1 | 3を足す | 4 |
| 5 | 4 | 2で割る | 2 |
| 6 | 2 | 2で割る | 1 |
答えは1です。1→4→2→1という3回の周期があるため、6回後には1に戻ります。大切なのは「3回周期」と暗記することではなく、どの状態に戻ったら同じ動きが繰り返されるのかを説明できることです。
例題2：道順を重複なく数える
格子状の道で、出発点から目的地まで右に3回、上に2回だけ進むとします。進む順番は何通りありますか。
全部で5回の移動のうち、上に進む2回の位置を選びます。上に進む位置を1つ選ぶ方法は5通り、もう1つは4通りで20通り。ただし、選んだ2つの位置の順序を入れ替えても同じ道順なので、20÷2＝10通りです。
この基本形が確実になったら、「途中で左に1回だけ進んでよい」などの条件を追加します。その場合は左に進む場所によって、その前後の経路を分けて数える練習につなげます。2019年度の大問3（2）も、左へ進む場所を分けて数える考え方が重要でした。なお、大問3（1）には立体上の道順も含まれます。
開成中の過去問を使った規則性対策の進め方
小5〜小6前半：基本の型を整理する
まず、周期算・数表・数列・図形の並び・場合の数について、基本的な問題を解ける状態にします。周期算では「あまり0のときは周期の最後」、場合の数では「同じものを二重に数えていないか」を確認します。これらは2019年度大問4そのものの解法ではありませんが、操作を整理する土台になります。
小6後半：2019年度の大問3・4を分けて復習する
初回は2019年度の問題を実際の時間配分を意識して解きます。その後、大問3と大問4を別々に解き直しましょう。大問3は場合分けの基準、大問4は操作ルールの読み取りと記録の仕方を中心に見直します。
間違えたときは「計算ミス」「条件の読み落とし」「場合分けの漏れ」「規則の決めつけ」のどれが原因かを分類します。解説を読んで納得しただけで終わらせず、翌日以降に白紙から表や図を書けるか確認してください。
難問を最後まで解くことだけを目標にしない
2019年度の大問4は、手順を確かめる（1）と、条件から推理する（2）で難度差がありました。入試本番を想定した練習では、長い条件を正確に読んで前半の設問を取り切ることと、難しい後半に時間を使いすぎない判断を分けて考えます。
家庭では「答えが出たか」だけでなく、「何を表に書いたか」「どこで規則を予想したか」「その予想をどう確かめたか」を聞くと、考え方の改善につながります。
まとめ｜2019年開成中の規則性対策はルールの整理から
2019年度の開成中算数では、大問4の条件整理・推理と、大問3の道順の数え方が、規則性を含む思考力対策の重要な題材です。数列の公式だけを増やすのではなく、ルールを読み取る→小さく試す→表で整理する→規則を検証する流れを習慣にしましょう。
過去問を復習するときは、まず大問4の前半で手順を正確に実行できるか確認し、その後に後半の推理へ進むのがおすすめです。大問3では、場合分けに漏れや重複がないかを重点的に見直してください。
